[ Roni Muniz ]
Não sou religioso. Sou Cristão. Não temo polêmica. Adoro pensar livremente.

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Resolvendo equações de 2º g sem fórmula (SM) 0211

Caro leitor. Ajude a manter este espaço que ora se inaugura. Envie sugestões para artigos, problemas matemáticos para serem resolvidos e comentados e dúvidas.

Aqui, neste espaço, que pretendo chamar de "Satélite Matemático" vamos criar  um modo divertido e mais eficiente de aprender a lidar com a  matemática. Vamos desenvolver métodos inovadores de interpretação e raciocínio lógico. Servirá aos estudantes, vestibulandos e a todos os amantes da matemática.

Para aproveitar este artigo é preciso que o leitor, obviamente, tenha conhecimento para a resolução de equaçoes do 2º grau. O que será aprendido então, é como resolvê-las mui mais rapidamente e com menos esforço, sem uso de fórmulas extensas.

As "lembranças" que serão inseridas no texto servem apenas para a ligação do assunto e para compor a linearidade textual da explanação, posto que o aluno já o deverá saber como pre requisito.

Resolvendo.

É preciso, para se encontrar as raizes de uma E2(equação de 2º grau), sem o uso da fórmula de "bhaskara", que se tenha conhecimento da relação existente entre as raizes, suas somas e produtos.

Relembrando e demonstrando: sendo a E2  ax²+bx+c=0 

Em alguns pontos do nosso estudo, para facilitar os cálculos ,vamos considerar  a=1. para obter a=1, basta dividir toda a equação por a . Ex.: [1] 3x²-15x+18= [2]x²-5x+6 = 0  (dividimos [1] por a=3 e encontramos [2] que é equivalente, ou seja, possui as mesmas raízes).

     A S (soma das raízes) de uma E2 é dada por [S= -b/a ] . Note que é   -b(simétrico do coeficiente de x).

demonstrando: supondo x1 e x2 as raízes de ax²+bx+c=0  e considerando a fórmula de resolução x1=-b+ sqr(b²-4ac)/2a  e 

 x2=-b+ sqr(b²-4ac)/2a                     [(sqr)= raiz quadrada]

x1+x2= [-b + sqr(b²-4ac)/2a] + [-b - sqr(b²-4ac)/2a ] = - 2b / 2a = -b/a

(a soma das raizes de uma E2 é igual ao simétrico de b dividido por a)

Continuando. O produto P das raizes de uma E2 é dado por           P=x1•x2= [-b + sqr(b²-4ac) / 2a] + [-b - sqr(b²-4ac) / 2a ]  =

{[b²] +[b • sqr(b²-4ac)] - [b • sqr(b²-4ac)] - [sqr(b²-4ac)]2 }/ 4a²=

[b² - (b² -4ac) ]/4a² = (b² - b² + 4ac )/4a² = 4ac / 4a² = c / a

Pois bem! Sabendo-se estas duas relações podemos concluir ,por exemplo,

que as raizes de x²-5x+6 = 0  é:  x1+ x2 = -(-5) / 1 =  5  e que      x1•x2=6/1 = 6. 

se decompormos o 6 em fatores primos, encontremos os dois que somados deem 5, ou seja 2 e 3 ,  e teremos ai as duas raízes da E2.

Experimente com valores diferentes.

Resumindo: para resolver uma E2, basta encontrarmos dois valores tais que, somados resultem o simétrico de b/a ( -b/a) e multiplicados deem c/a. Para valores pequenos , este cálculo, com um pouquinho de prática, pode ser feito mentalmente.

Aprofundando-se mais.

Para equações com c=0, (a ,b) ≠0 ,ou seja, ax²+bx=0.

note que se, o produto x1• x2=0 e a≠0 (a nunca é igual a zero. Por quê?)

então x1, ou x2 , é igual a zero. E se, x1+ x2 =  -b / a , então ,

 x1+ 0 = x1 =  -b / a .

Resumindo: Se c=0, então o conjunto verdade da E2 é S={0,-b/a}

Para equações com b=0,  a e c ≠0, ou seja, ax²+c=0.

Note priemiramente que esta equação só tem solução em ιR se a e c tiverem sinais simétricos, pois, ax²+c=0→ax²=-c → x²=-c/a  então (-c/a deve ser >0) pois nenhum x² será negativo. EX.: 3x²-6= 0 tem solução, -3x²+6=0 tem solução, mas, -3x²-6=0 e 3x²+6=0 não tem solução.

Questão : A equação ∂x²+ßx=0 , com (∂ , ß )  N,possui:

a) uma solução em ιR

b) duas soluções em ιR

c)uma raiz nula

d)não possui solução

Note que se x1+x2= -b/a =0 , [b=0 e a≠ 0] , então  x1= - x2, (as raizes são numeros simétricos), e sendo  ax²+c=0 → ax²=-c→ x²= -c/a→  x= ±sqr(-c/a).

Resumindo: para achar as raizes de uma E2 com b=0, basta dividir c por a , extrair a raiz quadrada do quociente e atribuir sinais simétricos.  

Ex.: 12x²-9=0    x1= sqr(9/12)= sqr(3/4)  e x2 = - x1 = - sqr(3/4).

Para equações com b=0 , c=0  e, como sempre, a ≠0, ou seja, ax²=0.

Para qualquer que seja a,  a unica raiz que satisfaz esta equação é 0, ou seja, x1=x2=0. Esta é fácil né?!

Até a próxima.